Критерий эффективности смещенных оценок. Новый взгляд на старые проблемы

Идеальным вариантом в задачах оценивания является использование несмещенной оценки с минимальным уклонением (дисперсией), если такая оценка существует. В настоящее время нет инструментов получения несмещенных оценок (если они существуют!). Например, полученная методом максимального правдоподобия (план испытаний NBT) оценка средней наработки до отказа Т_ср = (суммарная наработка)/(число отказов) является сильно смещенной. Такое положение дел не может устроить тех, кто занимается решением прикладных задач. Эффективными несмещенными оценками пользуются всегда, когда они существуют. Если невозможно найти эффективную несмещенную оценку в смысле среднеквадратического уклонения, то следует научиться сравнивать смещенные оценки. Подавляющее большинство задач связано с оценками, имеющими смещение. В классе смещенных оценок следует искать оценки с минимальным смещением, а среди них – с минимальным уклонением. Именно такие оценки следует называть в классе смещенных оценок эффективными по смещению или просто эффективными, что не противоречит классическому определению, а лишь расширяет его. Такой процесс поиска гарантирует получение оценок с хорошими точностными характеристиками. Однако при таком определении эффективной оценки по смещению всегда найдется вариант сравниваемых оценок, когда суммарное смещение одной оценки незначительно превалирует над суммарным смещением другой оценки, и то же самое происходит над суммарными уклонениями этих оценок, но уже в другом порядке. В такой постановке задачи формальный выбор эффективной по смещению оценки становится невозможным и имеет произвольный характер, т.е. выбор эффективной по смещению оценки принимается испытателем по интуиции. В этом случае выбор испытателя может стать неверным. Поэтому возникает задача построения критерия эффективности на основании которого выбор эффективной по смещению оценки становится формальностью. Цель работы. Целью работы является построение критерия эффективности на основании которого выбор эффективной по смещению оценки однозначно определяется расчетом. Методы исследования. Для нахождения эффективной по смещению оценки использовались интегральные числовые характеристики точности оценки, а именно: суммарный квадрат смещения ожидаемой реализации некоторого варианта оценки от исследуемых параметров законов распределений и т. д. Выводы. 1) Для биномиального плана и плана испытаний с восстановлением и ограниченным временем испытаний построены критерии эффективности, которые позволяют однозначно определить эффективную по смещению оценку из числа предложенных оценок. 2) На основании построенных критериев эффективности для различных планов испытаний выбраны эффективные по смещению оценки из числа предложенных.

1. Ясногородский Р.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Санкт-Петербург: Наукоемкие технологии, 2019. 320 с.

2. Михайлов В.С., Юрков Н.К. Интегральные оценки в теории надежности. Введение и основные результаты. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2020. 149 с.

3. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие: 2-е изд., исправл. и дополн. М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 472 с.

5. Шуленин В.П. Математическая статистика. Часть 1. Параметрическая статистика. Томск.: Издательство НТЛ, 2012. 540 с.

6. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности / Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. 376 с.

7. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности: Основные характеристики надежности и их статистический анализ: Изд.2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. 584 с.

8. Михайлов В.С. Нахождение эффективной оценки средней наработки на отказ // Надежность и контроль качества. 1988. № 9. С. 6–11.