Моделирование колебаний и исследование резонансных свойств каната переменной длины, лежащего на упругом основании, с учетом диссипации

В настоящее время вопросы надежности при проектировании технических систем с подвижными границами требуют все более полного учета динамических явлений в них.

Цель. Целью исследования является разработка математической модели и приближенно–аналитического метода для изучения поперечных колебаний и резонансных свойств вязкоупругого каната переменной длины, лежащего на упругом основании, с учетом диссипации энергии. Актуальность работы обусловлена широким распространением технических систем с подвижными границами (подъемные механизмы, гибкие передачи, контактные сети железных дорог, рельсовые пути, ленточные конвейеры, бурильные колонны и т.д.), для которых динамические нагрузки и резонанс представляют опасность. Существующие методы не позволяют полностью учесть комплекс факторов: изменение длины объекта, сопротивление среды, упругие свойства основания и внутреннее трение.

Методы. Для решения задачи применен метод Канторовича–Галеркина, эффективный для системс движущимися границами. Исходная краевая задача для уравнения в частных производных была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Процедура решения включала переход к безразмерным переменным, выбор координатных функций в виде собственных форм и применение процедуры Галеркина. Для анализа нестационарных процессов использовался метод малого параметра. В рассмотренной модели сила сопротивления движению каната принимается пропорциональной скорости, а также учитывается изгибная жесткость конструкции.

Результаты. Приведены расчетные выражения для амплитуды колебаний, соответствующих n‑й динамической моде. Особое внимание уделено исследованию явлений установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Решение охватывает наиболее распространенный на практике случай действия внешних возмущений на движущейся границе системы. Установлено, что амплитуда существенно зависит от скорости движения границы, параметров диссипации и жесткости основания. Определены условия установившегося резонанса при определен‑ ном соотношении частоты внешнего воздействия и собственной частоты системы. Исследовано явление прохождения через резонанс. Полученные аналитические выражения верифицированы сравнением с известными частными случаями, что подтвердило корректность метода с погрешностью до 5% для основных мод.

Выводы. Полученные аналитические выражения для амплитуды колебаний, условий установившегося резонанса и параметров прохождения через резонанс позволяют сформулировать ряд практических рекомендаций для инженеров–конструкторов, направленных на повышение надежности и долговечности технических систем с подвижными границами, предупреждение резонансных отказов в системах переменной длины. Ключевыми прикладными задачами, решаемыми с помощью данной модели, являются оценка усталостной долговечности, прогнозирование остаточного ресурса и предотвращение аварийных ситуаций. Учет диссипации и упругого основания критически важен для оценки резонансных свойств. Для предотвращения резонанса рекомендовано оптимизировать скорость движения границы, применять материалы с повышенным трением или демпферы, увеличивать жесткость основания. Результаты имеют прикладное значение для повышения надежности систем с подвижными границами. Перспективы исследований связаны с учетом нелинейных эффектов и негармонических воздействий.

1. Весницкий А.И., Потапов А.И. Поперечные колебания канатов в шахтных подъемниках // Динамика систем. Горьковский университет. 1975. № 7. C. 84-89.

2. Колосов Л.В. Продольно-поперечные колебания струны каната подъемной установки // Изв. вузов: Горный журнал. 1981. № 3. C. 83-86.

3. Литвинов В.Л. Исследование прохождения через резонанс вязкоупругого каната переменной длины в грузоподъемных механизмах // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации – 2008: XI Всероссийская научно-техническая конференция. Пермь, 2008.

4. Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 2006. Vol. 1. Pp. 66-78.

5. Самарин Ю.П., Анисимов В.Н. Вынужденные поперечные колебания гибкого звена при разгоне // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. № 12. С. 17-21.

6. Ryue J., Thompson D. Decay rates of propagating waves in railway tracks at high frequencies // J. Sound and Vibr. 2009. № 4-5. Pp. 955-976.

7. Lei Xiao-yan. Влияние резких изменений жесткости основания железнодорожного полотна на его вибрацию при движущейся нагрузке // Journal of Vibration Engineering. 2006. № 2. Pp. 195-199.

8. Мулухов К.К. Особенности динамического расчета ленточно-колесных конвейеров // Труды Северо-Кавказского государственного технологического университета. 2000. № 7. С. 266-269: 3 ил.

9. Самарин Ю.П. О волновых явлениях в областях с подвижными границами // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1967. Вып. 5. С. 337-340.

10. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

11. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2012. № 3(28). С. 145-151. DOI: 10.14498/vsgtu1079 EDN: QBUTVH

12. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Резонансные свойства механических объектов с движущимися границами: монография // Самар. гос. техн. ун-т, Самара, 2009. 131 с. EDN: COXZEM

13. Лежнева А.А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 1. C. 159-161.

14. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. «Физико-математические науки». 2009. № 2(19). DOI: 10.14498/vsgtu1079 EDN: LADKBT

15. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Вычисление собственных частот поперечных колебаний вязкоупругого каната, движущегося в продольном направлении и имеющего изгибную жесткость // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2008. 358 с.

16. Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Применение метода Канторовича-Галеркина для анализа резонансных характеристик систем с затуханием // Теоретическая и математическая физика. 2025. Т. 224. № 1. С. 95-104. DOI: 10.4213/tmf10930 EDN: GRXBCL

17. Литвинов В.Л. Решение краевых задач с движущимися границами при помощи приближенного метода построения решений интегро-дифференциальных уравнений // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. С. 188-199. DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-188-199 EDN: LGJAHF

18. Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Приближенный метод решения краевых задач с подвижными границами путем сведения к интегродифференциальным уравнениям // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2022. Т. 62. № 6. С. 977-986. DOI: 10.31857/S0044466922060126 EDN: NHEDUP

19. Литвинов В.Л., Шамолин М.В. Об одном асимптотическом методе решений однородных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания объектов с движущимися границами // Сибирский журнал индустриальной математики. 2025. Т. 28. № 2. С. 39-54. DOI: 10.33048/SIBJIM.2025.28.203 EDN: HLTSWB

20. Савин Г.Н. Об основных уравнениях шахтного подъемного каната // Прикладная механика. 1955. Т. 1. № 1. С. 15-24.

21. Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Математическое моделирование и исследование резонансных свойств механических объектов с изменяющейся границей: монография. Самара: СамГТУ, 2020. 118 с. EDN: WZLYFA

22. Литвинов В.Л., Литвинова К.В. Об одном обратном методе решения задач о колебаниях механических систем с движущимися границами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2024. № 3. С. 53-59. DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-3-8 EDN: AZGKFY

23. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Local solvability of a one-phase problem with free boundary // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. No. 2. Pp. 274-283. DOI: 10.1007/s10958-013-1209-9 EDN: RFJYVD

24. Selivanova N.Yu., Shamolin M.V. Studying the interphase zone in a certain singular-limit problem. Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189, No. 2. Pp. 284-293. DOI: 10.1007/s10958-013-1210-5 EDN: RFJYWH

25. Ерофеев В.И., Леонтьева А.В. Квазигармоническая продольная волна, распространяющаяся в стержне Миндлина-Германа, погруженном в нелинейно-упругую среду // Теоретическая и математическая физика. 2022. Т. 211. № 2. С. 216-235. DOI: 10.4213/tmf10253 EDN: AVOJTF

26. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е. Общие соотношения для волн, распространяющихся в одномерных упругих системах // Математические методы механики: материалы международной конференции. К 90-летнему юбилею акад. А.Г. Куликовского. М.: МИАН, 2023. С. 26-27.

27. Семенов А.Л. Литвинов В.Л., Шамолин М.В. Исследование влияния движения границ на колебательные и резонансные свойства механических систем переменной длины // Computational Mathematics and Information Technologies. 2025. Т. 9. № 2. С. 34-43. DOI: 10.23947/2587-8999-2025-9-2-34-43 EDN: LTGFLA