Владислав Львович Литвинов – кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой Общетеоретические дисциплины (Высшей математики)
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 244
Vladislav L. Litvinov, Candidate of Engineering, Associate Professor, Head of the Department of General Theoretical Disciplines (Higher Mathematics
244 Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100
Владимирович Шамолин Максим – член–корреспондент РАН, доктор физико–математических наук, профессор
119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1
Maksim V. Shamolin, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Physics and Mathematics, Professor
1, Leninskie Gory, Moscow, 119991
Кристина Владиславовна Литвинова – студент
119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1
Kristina V. Litvinova, Student
1, Leninskie Gory, Moscow, 119991
В настоящее время вопросы надежности при проектировании технических систем с подвижными границами требуют все более полного учета динамических явлений в них.
Цель. Целью исследования является разработка математической модели и приближенно–аналитического метода для изучения поперечных колебаний и резонансных свойств вязкоупругого каната переменной длины, лежащего на упругом основании, с учетом диссипации энергии. Актуальность работы обусловлена широким распространением технических систем с подвижными границами (подъемные механизмы, гибкие передачи, контактные сети железных дорог, рельсовые пути, ленточные конвейеры, бурильные колонны и т.д.), для которых динамические нагрузки и резонанс представляют опасность. Существующие методы не позволяют полностью учесть комплекс факторов: изменение длины объекта, сопротивление среды, упругие свойства основания и внутреннее трение.
Методы. Для решения задачи применен метод Канторовича–Галеркина, эффективный для системс движущимися границами. Исходная краевая задача для уравнения в частных производных была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Процедура решения включала переход к безразмерным переменным, выбор координатных функций в виде собственных форм и применение процедуры Галеркина. Для анализа нестационарных процессов использовался метод малого параметра. В рассмотренной модели сила сопротивления движению каната принимается пропорциональной скорости, а также учитывается изгибная жесткость конструкции.
Результаты. Приведены расчетные выражения для амплитуды колебаний, соответствующих n‑й динамической моде. Особое внимание уделено исследованию явлений установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Решение охватывает наиболее распространенный на практике случай действия внешних возмущений на движущейся границе системы. Установлено, что амплитуда существенно зависит от скорости движения границы, параметров диссипации и жесткости основания. Определены условия установившегося резонанса при определен‑ ном соотношении частоты внешнего воздействия и собственной частоты системы. Исследовано явление прохождения через резонанс. Полученные аналитические выражения верифицированы сравнением с известными частными случаями, что подтвердило корректность метода с погрешностью до 5% для основных мод.
Выводы. Полученные аналитические выражения для амплитуды колебаний, условий установившегося резонанса и параметров прохождения через резонанс позволяют сформулировать ряд практических рекомендаций для инженеров–конструкторов, направленных на повышение надежности и долговечности технических систем с подвижными границами, предупреждение резонансных отказов в системах переменной длины. Ключевыми прикладными задачами, решаемыми с помощью данной модели, являются оценка усталостной долговечности, прогнозирование остаточного ресурса и предотвращение аварийных ситуаций. Учет диссипации и упругого основания критически важен для оценки резонансных свойств. Для предотвращения резонанса рекомендовано оптимизировать скорость движения границы, применять материалы с повышенным трением или демпферы, увеличивать жесткость основания. Результаты имеют прикладное значение для повышения надежности систем с подвижными границами. Перспективы исследований связаны с учетом нелинейных эффектов и негармонических воздействий.
Currently, matters of dependability in the design of technical systems with moving boundaries require an increasingly complete consideration of underlying dynamic phenomena.
Aim. The aim of the study is to develop a mathematical model and an approximate analytical method for studying the transverse vibrations and resonant properties of a viscoelastic rope of variable length lying on an elastic foundation, taking into account energy dissipation. The relevance of the work is due to the widespread use of technical systems with moving boundaries (lifting mechanisms, flexible transmissions, railway contact networks, rail tracks, belt conveyors, drill strings, etc.), for which dynamic loads and resonance are dangerous. The existing methods do not allow for a complete consideration of a system of factors, i.e., changes in the object’s length, resistance of the medium, elastic properties of the foundation and internal friction.
Methods. To solve the problem, the Kantorovich–Galerkin method, effective for systems with moving boundaries, was applied. The original boundary value problem for a partial differential equation was reduced to a system of ordinary differential equations. The solution procedure included the transition to dimensionless variables, the selection of coordinate functions in the form of eigenmodes and the application of the Galerkin procedure. The small parameter method was used to analyze non–stationary processes. In the considered model, the drag force of the rope movement is assumed to be proportional to the velocity, and the bending rigidity of the structure is also taken into account.
Results. Calculation expressions are presented for the amplitude of oscillations corresponding to the n–th dynamic mode. Particular attention is paid to the study of the phenomena of steady–state resonance and passage through resonance. The solution covers the most common case in practice of the action of external disturbances on the moving boundary of the system. It is established that the amplitude significantly depends on the velocity of the boundary, dissipation parameters and the rigidity of the foundation. The conditions for steady–state resonance are determined for a certain ratio of the frequency of the external influence and the natural frequency of the system. The phenomenon of passage through resonance is studied. The resulting analytical expressions were verified by comparison with known special cases, confirming the method’s validity with an error of up to 5% for the fundamental modes.
Conclusions. The resulting analytical expressions for the oscillation amplitude, steady–state resonance conditions, and resonance passage parameters enable the formulation of a number of practical recommendations for design engineers aimed at increasing the dependability and durability of technical systems with moving boundaries and preventing resonant failures in variable–length systems. Key applied problems solved using this model include fatigue life assessment, residual life prediction, and emergency prevention. Consideration of dissipation and an elastic foundation is critical for assessing resonant properties. To prevent resonance, it is recommended to optimize the boundary velocity, use materials with increased friction or dampers, and increase the foundation rigidity. The results have practical significance for improving the dependability of systems with moving boundaries. Research prospects are related to taking into account nonlinear effects and non–harmonic influences.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.