Нормирование количества отказов сложного объекта с применением мультиномиального распределения

Резюме. Цель. Целью статьи является исследование метода нормирования количества отказов сложного объекта с применением мультиномиального распределения. Данный подход предусматривает установление допустимого значения количества отказов объекта на основе «прошлого опыта» (по статистической выборке количества отказов объекта, накопленной за несколько предыдущих оценочных периодов времени).

Методы. В статье применяются методы системного анализа, теории вероятностей, математической статистики. Проанализированы первичные показатели, на основе которых формируются показатели надежности объекта. Отмечена перспективность применения нормирования показателей надежности на основе имеющихся статистических данных применительно к сложным объектам. Рассмотрена задача нормирования количества отказов на основе статистической выборки. Определены основные недостатки применяемых подходов, связанные с ошибками определения среднего значения ряда, коэффициентов вариации и асимметрии. Показана возможность решения данной задачи с применением известной в комбинаторике задачи «о шарах и ящиках», которая сводится к мультиномиальному распределению. Рассмотрено определение вероятностей для композиций и разбиений числа n на m частей, а также вероятностей нахождения заданного количества шаров в ящике с их максимальным количеством. Рассмотрены формулы и алгоритмы, реализующие наиболее эффективный (с точки зрения объема/времени машинных вычислений) расчет вероятностей распределения мультиномиального максимума. Оценена возможность аппроксимации дискретной функции распределения мультиномиального максимума распределением Гумбеля. Показана возможность нормирования количества отказов для «сегмента», соответствующего части (доле) размерности сложного объекта, рассматриваемой на определенной части (доле) оценочного интервала времени от общего времени, на котором собрана статистика. Рассмотрены примеры нормирования количества отказов для объекта в целом на интервале оценки 1 месяц и для ½ объекта на интервале оценки 12 месяцев при оценочном интервале, на котором накоплена статистическая выборка, 72 месяца. Приведены ограничения по применению представленного метода и отмечены некоторые его возможные преимущества. В частности отмечено, что конкретная статистическая выборка, отражающая распределение количества отказов по нескольким одинаковым интервалам времени, является лишь одной реализацией мультиномиального распределения, поэтому можно сказать, что при применении предлагаемого метода на результаты нормирования перестает оказывать влияние наличие в статистической выборке маловероятного сочетания значений ряда. Также отмечено, что при применении предложенного метода нормирования количества отказов полученное допустимое значение всегда будет выше среднего значения статистической выборки.

Результаты. Получены выражения для расчета дискретной плотности и функции распределения мультиномиального максимума на основе разбиений числа. Приведены результаты анализа алгоритмов для проведения машинных вычислений. Представлены результаты применения некоторых алгоритмов. Предложена формула для аппроксимации функции распределения мультиномиального максимума с помощью распределения Гумбеля (для наибольших значений) методом моментов. Рекомендован диапазон значений оценочного интервала, в котором предложенный метод обеспечивает приемлемую достоверность результатов. Определены задачи дальнейших исследований.

1. Руденко Ю.Н. О подходах к нормированию показателей надежности электроснабжения потребителей // Известия Академии наук СССР. Энергетика и транспорт. 1975. № 1. С. 14-23.

2. Владимиров А.М. Гидрологические расчеты. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. 366 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. M.: Финансы и статистика, 1983. 643 с.

4. Bonetti M., Cirillo P., Ogay A. Computing the exact distributions of some functions of the ordered multinomial counts: maximum, minimum, range and sums of order statistics // Journal of Royal Society. 2019. Vol. 6. No. 10.ID:190198. DOI: 10.1098/rsos.190198

5. Rappeport M.A. Algorithms and computational procedures for the application of order statistics to queing problems. PhD Thesis, New York University, 1968.

6. Hayter A.J. Recursive formulas for multinomial probabilities with applications // Computational Statistics. 2014. Vol. 29. Issue 5. Pp. 1207–1219. DOI: 10.1007/s00180-014-0487-0

7. DasGupta A. Exact tail probabilities and percentiles of the multinomial maximum: Technical Report. Purdue University, 2009. URL: https://www.stat.purdue.edu/~dasgupta/mult.pdf

8. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976. 224 с. с ил.

9. Ewens W.J., Wilf H.S. Computing the distribution of the maximum in balls-and-boxes problems with application to clusters of disease cases // Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). 2007. Vol. 104(27). Pp. 11189-11191. DOI: 10.1073/pnas.0704691104

10. Levin B. A Representation for Multinomial Cumulative Distribution Functions // The Annals of Statistics. 1981. Vol. 9. No. 5. Pp. 1123-1126

11. Авторские программы и библиотеки от Bedvit [Электронный ресурс]. URL: http://bedvit.ru/com/ (дата обращения 29.09.2022).

12. Ekhad S.B., Zeilberger D. Balls in Boxes: Variations on a Theme of Warren Ewens and Herbert Wilf // Advances in Combinatorics: Waterloo Workshop in Computer Algebra, W80, May 26-29, 2011 / Editors: I.S.Kotsireas, E.V.Zima. Springer-Verlag Berlin and Heidelberg Gm, 2013. Pp. 161-174.