Синтез новых более мощных статистических критериев через мультипликативное объединение классических критериев Фроцини и Мурота-Такеучи с критерием Хeрста для проверки гипотезы нормальности малых выборок

Цель. Рассматривается проблема анализа малых выборок путем синтеза новых статистических критериев, порождаемых объединением статистического критерия Херста с критерием Фроцини, а также с критерием Муроты-Такеучи. Решается задача по поверке гипотезы нормального распределения исследуемых данных на выборках объемом от 16 до 25 опытов. Столь значительные ограничения по объему выборки возникают в таких предметных областях, как биометрия, биология, медицина, экономика. При этом проблема может быть решена применением не одного, а нескольких статистических критериев к анализу одной и той же малой выборки. Методы. Предложено выполнить умножение результата оценки по критерию Херста на результат вычисления оценок по критерию Фроцини и/или по критерию Муроты-Такеучи. Мультипликативное объединение выполнено для пар исследуемых критериев и для их тройки. Показано, что для каждого известного статистического критерия может быть построен свой эквивалентный ему искусственный нейрон. Появляется возможность нейросетевого обобщения порядка 21 построенных в прошлом веке классических статистических критериев. Ожидается, что добавление новых статистических критериев в форме искусственных нейронов будет приводить к росту качества решений многокритериального анализа. Формально использование произведений не повторяющихся пар критериев, образованных из 21 исходного классического статистического критерия должно дать 210 новых вариантов статистических критериев. Это значительно больше, чем общее число, созданных в прошлом веке статистических критериев для проверки гипотезы нормальности. Результаты. При парном произведении исследуемых критериев удается снизить вероятности ошибок первого и второго рода более чем в 1,55 раза по отношению к базовому критерию Херста. При тройном произведении критериев вероятности ошибок снижаются по отношению к базовому критерию Херста и по отношению к сцепленному с ним второму критерию. Отмечается отсутствие монотонного повышения качества принимаемых мультипликативными математическими конструкциями решений. Вероятности ошибок нового критерия, полученного перемножением тройки рассматриваемых критериев, примерно на 1,5% хуже, чем вероятность ошибок у критериев, полученных перемножением пар исходных критериев. Выводы. По аналогии с рассматриваемыми критериями, предложенные методы обработки данных могут быть применены и для других известных статистических критериев. Появляется теоретическая возможность значительно увеличить число новых статистических критериев путем перемножения их итоговых значений. К сожалению, параллельно с ростом числа объединяемых статистических критериев растут взаимные корреляционные связи между новыми синтезированными критериями. Последнее ограничивает возможности предложенного в статье метода. Необходимы дополнительные исследования, способные выявить наиболее эффективные комбинации пар, троек или больших групп для известных статистических критериев.

1. ГОСТ Р 52633.5-2011. Защита информации. Техника защиты информации. Автоматическое обучение нейросетевых преобразователей биометрия-код доступа. М.: Стандартинформ, 2018. IV, 15 с.

2. Мандельброт Б., Хадсон З.Л. (НЕ)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах. Москва, Санкт-Петербург, Киев: Изд-во «Вильямс», 2006. 408 с.

3. Р 50.1.037-2002. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа χ2. М.: Госстандарт России, 2001. 140 с.

4. Р 50.1.037-2002 Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. М.: Госстандарт России, 2002. 123 с.

5. Иванов А.И., Куприянов Е.Н., Туреев С.В. Нейросетевое обобщение классических статистических критериев для обработки малых выборок биометрических данных // Надежность. 2019. № 2. С. 22–27. DOI: 10.21683/1729-2646-2019-19-2-22-27

6. Иванов А.И., Банных А.Г., Безяев А.В. Искусственные молекулы, собранные из искусственных нейронов, воспроизводящих работу классических статистических критериев // Вестник пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. № 1 (48). С. 26-32.

7. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 816 с.

8. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования М.: Техносфера, 2007. 320 с.

9. Иванов А.И., Банных А.Г., Серикова Ю.И. Учет влияния корреляционных связей через их усреднение по модулю при нейросетевом обобщении статистических критериев для малых выборок // Надежность. 2020. № 20(2). С. 28-34. DOI: 10.21683/1729-2646-2020-20-2-28-34