<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">sustain</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Надежность</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Dependability</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">1729-2646</issn><issn pub-type="epub">2500-3909</issn><publisher><publisher-name>RAMS Journal Limited liability company</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.21683/1729-2646-2025-25-4-29-35</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">sustain-690</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="en"><subject>SYSTEM ANALYSIS IN DEPENDABILITY AND SAFETY</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Исследование оценок параметров распределения по малой выборке</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>A study of small­sample estimates of distribution parameters</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Воловик</surname><given-names>А. В.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Volovik</surname><given-names>A. V.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Воловик Александр Васильевич ‒ кандидат технических наук, ведущий инженер-конструктор</p><p>д. 16 корп. А, кв.128, ул. Центральная, пос. Шушары, тер. Детскосельский, Санкт-Петербург, 196634</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Alexander V. Volovik, Candidate of Engineering, Lead Design Engineer</p><p>16 bldg. А, apt. 128, Tsentralnaya, Shushary, ter. Detskoselsky, Saint Petersburg, 196634</p></bio><email xlink:type="simple">volovik_aleksandr@mail.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>АО «ОДК-Климов»</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>JSC “UEC-Klimov”</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2025</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>07</day><month>12</month><year>2025</year></pub-date><volume>25</volume><issue>4</issue><fpage>29</fpage><lpage>37</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Воловик А.В., 2025</copyright-statement><copyright-year>2025</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Воловик А.В.</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Volovik A.V.</copyright-holder><license xml:lang="ru" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.</license-p></license><license xml:lang="en" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://www.dependability.ru/jour/article/view/690">https://www.dependability.ru/jour/article/view/690</self-uri><abstract><p>Цель. Оценка параметров распределения по малой выборке представляет самостоятельную нетривиальную задачу, при решении которой путем максимизации функции правдоподобия можно получить сильно смещенный результат. В статье проанализированы свойства некоторых оценок параметров бета-распределения 1-го рода по малой выборке. Методы. Cравнение оценок параметров бета-распределения по малой выборке различными методами проведено имитационным моделированием при числе испытаний N = 104. Результаты. Оценки параметров методом максимального правдоподобия действительно дают сильно смещенный результат для выборок малого объема. Бутстреп-метод, по сравнению с методом максимального правдоподобия, дает менее смещенные оценки с меньшей дисперсией. Наиболее приемлемый (близкий к исходным значениям) результат получен с использованием математического ожидания (или медианы) и дисперсии. Выводы. Для выборок малого объема вряд ли можно рекомендовать какой-либо конкретный способ оценки параметров. Наиболее целесообразным представляется нейросетевой анализ малых выборок. С помощью нейросетевого объединения нескольких способов оценки можно существенно улучшить ее точность.</p></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><p>Aim. Evaluating distribution parameters based on small samples is an unconventional problem in itself. Solving it by maximizing the likelihood function may produce highly biased results. The paper analyses the properties of some small-sample estimates of beta distribution parameters of the 1-st kind. Methods. The comparison of small-sample estimates of beta distribution parameters using various methods involved simulation with the number of tests N = 104. Results. Parameter estimation using the maximum likelihood method does produce a highly biased result for small samples. The bootstrap method, as compared to the maximum likelihood method, produces less biased estimates with a smaller variance. The most acceptable (close to the initial values) result was obtained using the mathematical expectation (or median) and variance. Conclusion. For small samples, no particular method of parametre estimation can be recommended. The neural network analysis appears to be the best suited for small samples. Neural network integration of a number of methods of estimation may significantly improve its accuracy.</p></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>малая выборка</kwd><kwd>плотность распределения</kwd><kwd>статистика</kwd><kwd>гипотеза</kwd><kwd>оценка параметра</kwd><kwd>бутстреп-метод</kwd><kwd>правдоподобие</kwd><kwd>нейросетевой анализ</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>small sample</kwd><kwd>distribution density</kwd><kwd>statistics</kwd><kwd>hypothesis</kwd><kwd>parameter estimation</kwd><kwd>bootstrap method</kwd><kwd>likelihood</kwd><kwd>neural network analysis</kwd></kwd-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Воловик А.В. Комбинаторный способ идентификации малой выборки// Надежность. 2024. № 2. С. 3-7. DOI: 10.21683/1729-2646-2024-24-2-3-7</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Volovik A.V. A combinatorial method of small sample identification. Dependability 2024;24(2):3-7. (in Russ.). DOI: 10.21683/1729-2646-2024-24-2-3-7</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных / Под ред. Э.К. Лецкого. М.: Мир, 1980. 610 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Johnson N., Leone F. Statistics and Experimental Designs and Engineering and the Physical Sciences. Mathods of Data Processing. Moscow: Mir; 1980.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978. 248 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Gaskarov D.V., Shapovalov V.I. [Small sample]. Moscow: Statistika; 1978. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Орлов А.И. Эконометрика. М.: Экзамен, 2002. 410 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Orlov A.I. [Econometrics]. Moscow: Examen; 2002. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Попукайло В.С. Поддержка принятия решений по пассивным выборкам малого объема / Дисс. доктора информатики. УДК 004.415.2. Кишинев, 2017. 168 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Popukailo V.S. [Decision support for small-size passive samples]. A Doctor of Computer Science dissertation. UDC 004.415.2. Chisinau; 2017. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Джонсон Н.Л. Одномерные непрерывные распределения: в 2 ч. Ч. 2. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010-2012. 600 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Johnson N.L. Continuous Univariate Distributions: in 2 volumes. Volume 2. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy; 2010-2012.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Лемешко Б.Ю., Блинов П.Ю. Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона. Руководство по применению. Новосибирск: НГТУ, 2015. 182 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Lemeshko B.Yu., Blinov P.Yu [Criteria for testing a distribution for deviation from a uniform law. An application guide]. Novosibirsk: NSTU; 2015. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Korn G., Korn T. Mathematical handbook. Moscow: Nauka; 1974.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit9"><label>9</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001. 295 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Vadzinsky R.N. Handbook of Probability Distributions. St. Petersburg: Nauka; 2001. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit10"><label>10</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Громов Ю.Ю., Карпов И.Г. Законы распределения непрерывной случайной величины с максимальной энтропией. Обобщенный метод моментов // Научно-технические ведомости СПбГПУ 1. 2009. С. 37-41.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Gromov Yu.Yu., Karpov I.G. [Distribution laws of a continuous random variable with maximum entropy. Generalized method of moments]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPBGPU 1 2009:37-41. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit11"><label>11</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Реброва О. Среднее или все же медиана // «Троицкий вариант». 2011. № 90. c. 13.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Rebrova O. [Average or median though]. Troitsky variant 2011;90:13. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit12"><label>12</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">ГОСТ Р 50779.24-2005 (ИСО 8595:1990) Статистические методы. Статистическое представление данных. Оценка медианы. М.: Стандартинформ, 2005. II, 6 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">GOST R 50779.24-2005 (ISO 8595:1990): Interpretation of statistical data. Estimation of a median. Мoscow: Standartinform; 2005. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit13"><label>13</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Керман, Джуни (2011). «Аппроксимация в замкнутой форме для медианы бета-распределения»[электронный ресурс]. URL: https://arxiv.org/abs/1111.0433 (дата обращения: 29.9.2025).</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kerman J. A closed-form approximation for the median of the beta distribution. (accessed 29.9.2025). Available at: https://arxiv.org/abs/1111.0433.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit14"><label>14</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Лемешко Б.Ю., Гильдебрант С.Я., Постовалов С.Н. К оцениванию параметров надежности по цензурированным выборкам // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. № 1. С. 52-64.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Lemeshko B.Yu., Hildebrant S.Ya., Postovalov S.N. [On the assessment of reliability parameters based on censored samples]. Industrial Laboratory. Diagnostics of Materials 2001;67(1):52-64. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit15"><label>15</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Волчихин В.И. и др. Нейросетевой анализ нормальности малых выборок биометрических данных с использованием хи-квадрат критерия и критериев Андерсона-Дарлинга // Инженерные технологии и системы. 2019. Том 29. № 2. С. 205-217.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Volchikhin V.I. et al. The neural network analysis of normality of small samples of biometric data through using the Chi-square test and Anderson–Darling criteria. Inzhenernyye tekhnologii i sistemy 2019;29(2):205-217. (in Russ.)</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
